Với \(x;y;z\) thực thỏa mãn\(x+y+z=1\). Tìm giá trị lớn nhất của \(P=4xy+2yz+zx\)
Cho các số thực dương x, y, z thay đổi và thỏa mãn: 5 x 2 + y 2 + z 2 = 9 x y + 2 y z + z x . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = x y 2 + z 2 - 1 x + y + x 3 bằng
A. 18..
B. 12.
C. 16.
D. 24.
Cho các số thực x,y,z thỏa mãn: x+y+z=6.Tìm giá trị lớn nhất của A=xy+2yz+3zx
từ giả thiết ta có : z = 6 - x - y
Ta có : \(A=xy+z\left(2y+3x\right)=xy+\left(6-x-y\right)\left(2y+3x\right)\)
\(=-3x^2-2y^2-4xy+18x+12y\)
Do đó : \(3A=-9x^2-6y^2-12xy+54x+36y=-9x^2-6x\left(2y-9\right)-6y^2+36y\)
\(=-\left(3x+2y-9\right)^2-2y^2+81\le81\)
\(\Rightarrow A\le27\)
Vậy giá trị lớn nhất của A là 27 \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3x+2y-9=0\\y=0\end{cases}\Leftrightarrow x=3;y=0;z=3}\)
Tìm giá trị lớn nhất của M=xy+yz+zx
Với x,y,z là số thực thỏa mãn : x+y+z=3
Cauchy-Schwarz : \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(y^2+z^2+x^2\right)\ge\left(xy+yz+zx\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge\left|xy+yz+zx\right|\ge xy+yz+zx\)(1)
Mặt khác :
\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=9-2\left(xy+yz+zx\right)\)
Kết hợp (1)
=> \(9-2\left(xy+yz+xz\right)\ge xy+yz+zx\)
\(\Leftrightarrow3\left(xy+yz+zx\right)\le9\)
\(\Leftrightarrow xy+yz+zx\le3\)
Dấu " = " xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}\\x+y+z=3\end{cases}}\)<=> x=y=z=1
Vậy MaxM=3 khi x=y=z=1
cho ba số thực không âm x,y,z thỏa mãn xyz=1 . tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=\(\frac{x\sqrt{x}}{x+\sqrt{xy}+y}+\frac{y\sqrt{y}}{y+\sqrt{yz}+z}+\frac{z\sqrt{z}}{z+\sqrt{zx}+x}\)
Theo em bài này chỉ có min thôi nhé!
Rất tự nhiên để khử căn thức thì ta đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)=\left(a;b;c\right)\ge0\)
Khi đó \(M=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\) với abc = \(\sqrt{xyz}=1\) và a,b,c > 0
Dễ thấy \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)
(chuyển vế qua dùng hằng đẳng thức là xong liền hà)
Do đó \(2M=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Đến đây thì chứng minh \(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)(đúng)
Áp dụng vào ta thu được: \(2M\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\Rightarrow M\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\ge\sqrt[3]{abc}=1\)
Vậy...
P/s: Ko chắc nha!
bạn bui thai hoc sao lại cmt linh tinh vậy :)) bạn ko có học thức à :> mà ý bạn cmt như vậy là sao hả ?
cho x,y,z thỏa mãn x+y+z=6. tìm giá trị lớn nhất của A=xy+2yz+3zx
A = xy + 2yz + 3xz = xy + xz + 2yz + 2xz = x(y + z) + 2z(y + z)
Áp dụng BĐT: (a+b)^2/4 ≥ ab dấu = khi a = b
ta có:
(x + y + z)^2/4 ≥ x(y + z)
(x+ y +z)^2/4 ≥ z(y + z)
=> A ≤ 3(x + y + z)^2/4 = 3.36/4 = 27
=>Giá trị lớn nhất của = 27 sẽ xảy ra khi có các trường hợp:
{x = y + z
{z = y + z
Vậy y = 0 và x = z = 3
\(A=xy+2yz+3zx=x\left(6-x-z\right)+2\left(6-x-z\right)+3zx\)
\(=-x^2+6x-2z^2+12z=\left(-x^2+6x-9\right)+\left(-2z^2+12z-18\right)+27\)
\(=27-\left(x-3\right)^2-2\left(z-3\right)^2\le27\)
\(A=x\left(6-x-z\right)+2y\left(6-x-z\right)+3zx=-x^2+6x-2z^2+12z\)
\(=\left(-x^2+6x-9\right)+\left(-2z^2+12z-18\right)+27=27-\left(x-3\right)^2-2\left(z-3\right)^2\le27\)
PS: Cai trên ghi thiêu chữ y. Mà thôi coi cai này nè nha.
Cho 3 số thực: x; y; z thỏa mãn: \(x\ge1;y\ge4;z\ge9\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(M=\dfrac{yz.\sqrt{x-1}+zx.\sqrt{y-4}+xy.\sqrt{z-9}}{xyz}\)
Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn 2x + 2y + z = 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A= 2xyz + yz + zx
1. Cho x,y,z là ba số dương thay đổi và thỏa mãn \(^{x^2+y^2+z^2\le xyz}\)
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(A=\frac{x}{x^2+yz}+\frac{y}{y^2+zx}+\frac{z}{z^2+xy}\)
2. Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2=3\)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(B=xy+yz+zx+\frac{5}{x+y+z}\)
Giải hộ mình bài toán sau:
1. Cho 3 số x, y, z thỏa mãn:
xy + yz+ zx = 8
x + y + z = 5
Tìm giá trị nhỏ nhất, lỡn nhất của x.
2. Cho 3 số x, y, z thỏa mãn:
xy + yz + zx = 1
x2+y2+z2=2
Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của x.